一、微积分是什么
“一日之棰，日取其半，万世不竭。”——我国哲学家庄子提出的物质无限可分的原理。
“在阿基里斯和乌龟之间展开一场比赛。乌龟在阿基里斯前头1000米开始爬，但阿基里斯跑得比乌龟快10倍，比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍然在他前头100米。而当阿基里斯又跑了100米到达乌龟前此到达的地方时，乌龟又向前爬了10米。因此，阿基里斯将会不断地逼近乌龟，但他永远无法赶上它。”——古希腊的数学家芝诺提出的悖论之“阿基里斯和乌龟”故事。
这些哲理故事，或是引人深思，或是博君一笑。然而，其中的“无穷小”和“很小很小”之间的逻辑矛盾，却在千百年后成为了引发第二次数学危机的导火索。

发生在17世纪的第二次数学危机，恰是围绕着微积分诞生初期积极定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义以及与实数相关的理论系统。作为现代数学的基础，微积分（或数学分析）源于代数和几何，内容主要包括函数、极限、导数、微分学、积分学及其应用。微积分有两个基本想法：其一是微分学，包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可在一个通用的符号化基础上进行讨论；其二是积分学，包括积分的运算，为计算被一个函数图像所包的面积提供一套通用的方法，并引入诸如体积的相关概念。

二、微积分初步是什么
经过几百年的争论和完善，微积分已经成为一门独立完整的数学学科。自成一体、博大精深，微积分不仅有着深奥的数学理论基础（涉及函数的连续性、数列的极限等等），还与其他学科之间有着千丝万缕的关联，这使得他对学习者的要求较高。因此，通常它都是作为一个完整独立的知识体系置身在高等数学殿堂内。

那么，学习微积分是否就一定要先建立严密的极限理论体系，一定要完全掌握数列的收敛性，函数的可导性、连续性？没有严格完整的数学逻辑体系，我们就不能学习和应用微积分了吗？事实上，自1666年牛顿和之后的莱布尼茨创立了微积分，求微分和求积分的互逆关系明确后，如不追求严格的数学逻辑，求导法则和积分性质是可以从代数运算推得的。而在人类还没有确立极限的逻辑基础前的155年里（极限理论是在1821年建立的），微积分已经应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。可见，没有严格极限理论的微积分，我们不妨称之为微积分初步，也是有不可低估的学习价值的。

如果在初等教育和高等教育之间严格划线，使得中学生无法接触到以微积分为代表的高等数学，更不知道前面还有更加五彩缤纷的数学内容等着他们，这无疑是认识上的局限，中学数学教育的缺陷。而中学阶段开设微积分初步课程，在一定程度上可以打破局限弥补缺陷，激发中学生的学习兴趣和求知欲望。

三、《微积分初步》是什么
微积分课程作为AP课程（大学先修课程），在中学界引发高度关注，尤其是在上海的各大名校，如上海中学、华师大二附中、上海交大附中、复旦附中等，近年来均已陆续开课。虽然关于微积分的高等数学教材已数不胜数，但是为中学生，尤其是为当下的中学生而编写的微积分初步教材却是少之又少的。

为了推进中学阶段的数学教育革新，为了满足学生的学习需求和求知欲望，应上海教育出版社的邀约，华东师范大学数学系教授、上海市高中数学教材主编袁震东老师，根据其多年的教学教育研究经验和成果，主持编写了这本《微积分初步》。 

袁震东，华东师范大学数学系教授、博导。主持编写了上海市二期课改的高中数学教材，还编写出版过《数学与艺术》《数学建模》等著作。

本书主要介绍了导数、微分、不定积分、定积分等基本概念，以及相关的运算法则和简单应用。为使学生有一个螺旋式上升的学习过程，本书分为上、下两篇。上篇讨论幂函数、多项式函数的微积分，即对函数类型有所限制，但上、下篇对微积分思想的阐述是相同的。对于仅想学习微积分思想的学生，学完上篇后可以告一段落。下篇讨论幂函数之外的初等函数的微积分，及简单微分方程。这样，微积分初步就更加完整。

上篇 微积分初步（上） 
 微分（上）
1.1导数的概念
1.2微分的概念
1.3导数的应用
1.4复合函数求导法则
习题 一
积分（上）
2.1不定积分
2.2定积分
习题 二
下篇 微积分初步（下）
微分（下）
3.1三角函数的导数
3.2反三角函数的导数
3.3指数函数的导数
3.4对数函数的积分
3.5导数的进一步应用
3.6求导法则与公式汇总
习题 三
积分（下）
4.1三角函数的积分
4.2反三角函数的积分
4.3指数函数与对数函数的积分
4.4把真分式化为部分分式
4.5有理函数积分
4.6分步积分法
4.7积分的数值计算
4.8从方程的视角看积分
习题 四
简单微分方程
5.1变量分离法
5.2微分方程的应用
附录一：
函数的极限与连续
几个基本极限
附录二：微积分试题摘编