梁进著的《名画中的数学密码》分为6章，分别沿着社会发展的脉络，从古代艺术的朴素数学萌芽，到科学觉醒即文艺复兴的年代，然后是工业革命对绘画的影响，以及计算机、信息时代艺术的发展，通过欣赏相应时期的流派，如印象派、现代派和抽象派具有代表性的艺术家们的一些作品，从数学的角度加以解读，并捎带介绍了相关的数学家和数学学科及其发展。对照科学和艺术的发展，本书试图找到这些艺术流派形成的数学理念和科学背景。

梁进著的《名画中的数学密码》是一本与众不同的名画欣赏读物。

在数学家眼中，每一幅名画背后都有承托其艺术价值的数学密码，《蒙娜丽莎》的微笑含有数学的优雅。“数学”与“绘画”，一个代表逻辑思维，一个代表形象思维，看似风马牛不相及，实则一直紧密相联。

沿着科学和艺术发展的足迹，从文艺复兴到大数据时代，从古典透视到奇异世界，作者生动地讲述了数学和绘画是如何互相影响，交织发展，高维连通的。

用数学的眼睛看绘画，用艺术的眼睛理解数学。

序

前言

第1章 文明中的数学基因

 古文明中的朴素数学

 黄金分割

 斐波那契数列

 艺术和数学的互动

 计算机美术

第2章 文艺复兴诞生爱和美的真谛

 波提切利的神话寓言

 弗兰切斯卡的几何神绘

 达芬奇的科学魔笔

 米凯朗基罗的三维塑雕

 拉斐尔的时空转换

 丢勒的数字幻方

 文艺复兴中的科学家

第3章 工业革命新塑绘画印象

 布莱克的诗幻神曲

 莫奈的光影印象

 马奈的虚实变换

 毕沙罗的时光风景

 雷诺阿的温暖涂刷

 德加的微积动画

 塞尚的不稳静衡

 梵高的宇寰流线

 高更的解析人生

第4章 抽象空间孕育艺术多样化

 马蒂斯的符号艺术

 康定斯基的点线面乐章

 马列维奇的黑白宿命

 毕加索的高维画语

 布拉克的立体运动

 达利的抽象拓扑

 蒙德里安的格局分布

 米罗的元素

 波洛克的随意泼墨

 克利的诗意平面

 杜尚的离散连续

第5章 数学艺术大师埃舍尔

 拼贴

 互耦

 螺线

 变换

 易维

 极限

 分形

 奇空

 几何

第6章 中国画中的数学元素

 山水画

 花鸟画

 人物画

 风俗画

后记

拉斐尔的时空转换

文艺复兴时期时的三杰还有一位就是拉斐尔。这三个在艺术上高不可仰的伟人出生在几乎同一地区，同一时代，堪称历史奇观。

拉斐尔·圣齐奥（Raffaello Sarzio，1483—1520年）意大利画家、建筑师。在短短的37年生涯里。他给世人留下了三百多幅珍贵的艺术作品。这些伟大的作品奠定了他艺术大师的地位。因为这三杰同居一城，拉斐尔又比达·芬奇年轻许多，得到过达·芬奇的照顾，所以他又有达·芬奇学生之说。可惜天妒英才。拉斐尔因一场疾病过早结束了他灿烂的人生，让人唏嘘不已。这也使人感叹如此年轻又如此成就，是不是从别的时空穿越过来的？

这种穿越感在拉斐尔的作品里不时显露。他最有名的作品是圣母系列。相比于写实的达·芬奇笔下的圣母之隐忍和坚强，他笔下的圣母超凡脱俗、温柔秀美、华贵贤惠，其环境更像是在天堂，充满着安宁、恬静、和谐和完美。显示了画家所向往的人文主义的理想之最高境界，从而使他的作品实现了一种超越。

我们来看他的《草地上的圣母》（The Madonna of the Meadow，1505年），现藏于奥地利维也纳的艺术史博物馆（Kunsthistorisches Museum Wicn）。

可以看出这幅作品受到达·芬奇《岩间圣母》的影响，画面同样具有三角形结构，三角形由三个人物组成，圣母、耶稣与圣约翰。与《岩间圣母》恶劣峥嵘的环境不同，这里的温暖、柔和、安详和宁静，让人心旷神怡。这时，三角形不必担当保护的作用，而更多地表现出一种慈爱。与《岩间圣母》一样，耶稣仍然在三角形重心的位置，由圣母双手环护。圣约翰仍然在三角形的一个顶点。另一个顶点则由圣母的脚支撑。耶稣和圣约翰手里似乎在交换的十字架，暗示着耶稣将担负大任以及两个孩子后来的故事。整个画面黄金分割之处那柔美纯净的山水构成的远景很虚幻，像天堂，近景的实地是现实世界。天堂和现实世界由草地相连，人物在天地之间被烘托得极为神圣。

再看《嘉拉提亚的凯旋》（Triumph of Galatea，1511年）。

这幅画气势磅礴，色彩鲜艳，题材来自希腊神话。画面表现了在天使引导下驾着由海豚牵引的巨大螺舟乘风破浪的嘉拉提亚女神。在水中成双成对的人鱼水神簇拥着她，或舞蹈，或吹号，或行舟；而在天空中飞翔着的是拉满弓对准嘉拉提亚的爱神。所有的神话人物姿态神情各异，明亮动感，立体感十足。在清澈的海浪和自云烘托下，女神唯美的身体和昂扬的姿态，加上被风鼓起的红披风和水神的黄纱巾像是一面面猎猎作响的战旗，紧扣着画题“凯旋”。

拉斐尔娴熟地应用数学中的几何框架，将画面分成了上下两部分。上面的拉弓天使形成一个明显的三角形，但如果把刚露头的那个小天使也算上，就是一个极富变换的暗菱形。下面的人物构成两个正反对置的三角形，构成了具隐晦宗教含义的六角星。使得此画在结构上表现出了完美的平衡与和谐。加上色彩明暗的对比鲜明，情感饱满，感染力极强。

拉斐尔另一幅传世之作是壁画《雅典学院》（The School of athens，1510—1511年）。这幅画更体现了拉斐尔崇尚的希腊精神，追求自由意志的人文主义理想。这是拉斐尔以古希腊哲学家柏拉图所建的雅典学院为题，以古代七种自由艺术——即语法、修辞、逻辑、数学、几何、音乐、天文为基础，以表现人类对智慧和真理的追求。这幅画现展于梵蒂冈博物馆（Musei Vaticani）的拉斐尔厅。

全画以纵深展开的高大建筑拱门为背景，大厅上汇集着不同时代、地域和学派的各著名学者。他们在自由地讨论，好像在举行盛典，通幅洋溢着百家争鸣的气氛，凝聚着人类智慧的精华。这座大厅是以圣彼得大教堂为范本的，两侧的壁龛里，分别供立着智慧女神雅典娜和光明之神阿波罗，这显然又受到米开朗基罗的影响。中心透视点的层层拱门，直通遥远的天际。拱门和地下的方块装饰暗示着哥白尼之前人们对自然天圆地方的认识，从而形成一个极其神圣的氛围。画里的学者们被对称、自然而富有韵律感地配置在台阶两侧，中心是两位伟大的哲学家——柏拉图（Plato，前427—前347年）与亚里士多德（Aristoteles，前384—前322年）。他们似乎正在进行着激烈的辩论，并正向观众走来。亚里士多德右手掌向下，反映着他的唯物世界观而关注着现实世界；而柏拉图则右手指向上，表示了他的唯心世界观而感念神灵启示。这两个相反的手势。表达了他们哲学思想的对立。画中央的台阶上，躺着一个不修边幅的孤寂的犬儒学派哲学家第欧根尼（Diogenes o Sinopeus，前412—前324年），有点像我国古代的济公，这个人物起到了承上启下，左联右接的作用。台阶下面的左侧，以坐在地上专注地书写着的数学家毕达哥拉斯为中心。边上站立的白衣女子是最早有记载后来却为维护理想而惨死的女数学家希帕蒂娅（Hypatia，370—415年）。台阶下右侧一组，中心人物是弯腰俯背、手执圆规在黑板上演算的几何学家欧几里得（也有说是数学力学家阿基米德），周围是四个学生。旁边那个手持天文仪的是埃及天文学家托勒密（90—168年）。在托勒密的最边上那个露出半个脑袋、头戴深色圆帽的青年，就是画家拉斐尔本人——以这种方式实现穿越。把自己偷偷画进历史题材，又只占一只小角，反映了画家自负而又谦卑的心态。对赏画者来说，这种穿越使得画作的时代感更加绵长。

公元前3世纪，欧几里得的《几何原本》在古希腊问世，那时数和形是分开的。对于画家来说研究形的几何他们感到很有兴趣。然而将抽象的几何赋予生命，在画布上展现内涵的还是从文艺复兴开始，画家开始使用数学去探索和谐比例，先驱是达·芬奇。数学和艺术的联系在形式美这一方面。形式美研究比例、和谐、均衡、对称等方面，刚好这些视角就是数学最深的主题。如从对称引串的均衡则是现在博弈论的主题，由基本几何形状演变成了今天的新分支分形数学。透视和画面几何分布，达·芬奇已有很多研究心得。拉斐尔无疑是个好学生，而且青出于蓝胜于蓝。对比达·芬奇的《最后的晚餐》（图2—10），这幅画将透视技巧运化到了极致，从后窗望出去，那云空延伸到了无穷。而房间的构图里圆弧拱、柱体、方块等基本几何元素形成了画的基本框架，在这个框架下形成的舞台上，和谐优美地闪烁着人类思想的光芒。这比起达·芬奇所创造的舞台更加宏伟，更具纵深感，也就有了更强的表现力。我们看到拉斐尔将代表数和形的毕达哥拉斯和欧几里得（阿基米德）分占前排的左右两侧，在整个画面中起到基石的作用，反映了数学在作者心中的地位，而柏拉图对数学也相当有造诣。考虑到这点，数学在整个画面上又形成了一个稳定坚强的三角形。

P38-43

用数学的眼睛看绘画

梁进老师是研究应用数学的，长于偏微分方程——万物演化的基本法则大多是通过这样的方程来描绘的，也醉心于艺术，曾“瞠过”世界各地的博物馆，见过无数名画。发掘了众多名画中潜藏的数学元素和精神，于是在科学网上发表了系列“世界名画中的数学”的博文，赢得众多读者喜爱。现在则有了这本书。这当然是一本与众不同的名画欣赏读物，它一定会引领更多的读者用新的眼光和心情去看绘画，乃至看艺术、看自然、看人生。因为，在数学的舞台上，我们和世间万象都是在不断变换着、演化着——当然，遵从一定的偏微分方程——的“点线面”，呈现为一幅幅不同风格和流派的图画。我想本书带给读者最大的启发是，改变对数学的偏见，对科学的偏见，对思维的偏见，让科学与艺术重新融合在头脑里。

时下流行“像艺术家一样思考”，似乎不是因为艺术家创造“美”——后现代派也创造“丑”。就让他们自己玩儿吧——而是因为他们“创造”了特殊的思维方式，令人眼红了。遗隧的是，人们闹着学艺术家的思维时。冷落了同样创造思维的数学家兄弟。这也难隆，不知从什么年月起，谁谁谁们就将艺术思维与科学思维分开了，将感性与理性对立了。这种“二分法”既夸张也荒唐，不但离间了科学和艺术，也让“理工男”与“文艺女”变成星河两岸的牛郎和织女，盈盈一水间。相望却无言。结果是，我们的头脑越来越残缺了。我们读这本书，也许能惊奇于一个平凡的事实：科学与艺术从来都是相通的，“最抽象”的数学与“最具象”的绘画，有时简直像孪生兄弟。

5000多年前古埃及奥西里斯神庙的“生命之花”，就是“一群”圆圈的组合，像几何习题的插图。简单几何图形的重复、变形及其显现的对称和韵律，是几千年来不变的艺术“基元”。如果说绘画来源之一是自然物象，那么来源之二就是几何，绘画在不知不觉中成了数学的小兄弟。在文艺复兴时期，绘画更是自觉地融合科学精神。我们在达·芬奇的手稿里可以看到时代的风尚：“先学科学，然后在科学的指引下实践”（First study scie]ice，then follow the practice that born Of that science）。他认为，绘画是科学活动，而且是最高级的活动。他的笔记手稿满是光线、阴影、透视、色彩，还有人体结构和“清流激湍”，几乎就是带插图的科学启蒙课本。

有趣的是，当科学风尚改变时，绘画风格似乎在跟着转变。二者虽无直接的因果，却从不同侧面代表了时代的文化生态。史家们常说时代思潮和时代文艺——如王国维说“凡一代有一代之文学”——我们同样可以说时代科学和时代数学。如果说古典时代科学与艺术的自然融合是因为那时的科学与文艺还不够“百花齐放”，那么近代的文艺风尚与科学风尚的呼应，则足以令人惊奇和惊喜了：从安格尔与德拉克罗瓦的线条一色彩之争，到莫奈的光影、塞尚的色块和毕加索的立体，都呼应着科学的风尚。如果说古典绘画抱着欧几里得几何的时空，那么立体画派更倾向非欧几何，更像拓扑学（参见立体派画家Albert Gleiser和Jean Metzinger的《立体主义》）。当康定斯基让“色彩与形态”摆脱物象时，物理学也在从实验模型走向几何化（如相对论和规范场论）。实现了哈代（华罗庚在剑桥的老师）所说的，数学家和画家一样。都创造“模式”。数学的概念和符号，犹如画家的线条和色彩，数学的结构犹如绘画的场景，而艺术“美”也就成为数学“真”的一个标准。这令人想起大诗人济慈因古希腊陶瓮而发的感叹：“美即是真，真即是美”（Beatltv is truth，truth is beauty）。大数学家外尔说，“我的工作总需要将真与美统一起来，当我不得不选择其一时，我通常选择美”。控制论创始人、自称“昔日神童”的维纳也在自传里表达过他的艺术式的数学体验：数学家最好的回报就是能爱上他发现的东西，犹如塞浦路斯国王爱上他自己塑造的雕像皮格马利翁（Pygmalion）一样。

所以，数学晤对绘画，不是旁观者看画展，而是“会心人别有怀抱”，能发现画家自己都或许感觉了却并不明白的东西。我们看埃舍尔的画，会惊讶抽象的几何结构和空间变换以及难以言表的逻辑怪圈，竟能那么活泼泼地呈现出来。然而埃舍尔的数学并不好，从来就没及格过。但他“莫名其妙就理解了数学”，似乎自己是数学家们“失散多年的兄弟”（见恩斯特《魔镜，埃舍尔的不可能世界》）。在不懂数学的埃舍尔的绘画里。我们还能看到相对论、黎曼几何和量子场论的“形象”——绘画在无意间生出数学，当然需要用数学的眼睛去看它；另外，数学法则本来就“存在于”自然世界和精神世界，绘画表现自然和自然激发的心情，当然也必然会隐藏数学。绘画过滤和抽象了世界，数学不过是再抽象一回罢了。越是抽象，越能虚怀地包容万象。

诗人画家王维画“雪中芭蕉”，曾引出科学家沈括的高见：“书画之妙，当以神会，难可以形器求也。（《梦溪笔谈》卷十七）”所谓“神会”，就是不能“心为形役”，而应以模式、韵律和精神去契合画的精神，而不是拿自然的物象去比较画面的形象。西方古典绘画是具象的，我们的写意山水也具象，即使缺一点“神会”也能看出几分模棒现代绘画没那么多“象”可以触摸了，必须换一种眼光去看。正如梁老师在解读康定斯基的抽象画时说的，我们需要从作品的“结构”看出它的“函数空间”。就是说，当我们用数学图像去看画，能自然把握它的元素、结构和韵律。例如我们看蒙德里安的“蓝色组合”，那些杂乱的大大小小深深浅浅重重叠叠的色块，并不代表什么具象的东西，却很好刻画了一种统计分布，不管什么东西的统计，我们觉悟了统计分布就好了，它可以存在于任何地方……

从某种意义说，数学就是脱离了物质世界的“抽象画”，它的形式和精神也就是绘画的形式和精神。正如康定斯基说的，“数是备类艺术最终的抽象表现”。我们用数学的眼睛来看绘画，只不过是与失散的兄弟重逢，尽管他们越来越陌生了。

李泳

中国科学院水利部成都山地灾害与环境研究所研究员

小巷，又弯又长，

没有门，没有窗

我拿把旧钥匙，敲着厚厚的墙

——顾城

数学和名画在我心中的地位都很崇高，而我的数学水平和艺术修养却有限。我自觉学识浅薄，却不知好歹地评头论足。如果不是博友们对我的鼓励，我很难有勇气把它整理成书。但从交流的角度上来说，和别人分享我的体会，听取别人的意见是大有裨益的。在成书过程中，寻找资料，阅读文献，我有了一次再学习的过程，也产生了许多新的想法，使得这本书更加丰满，也让我坚定了不同的学科需要交流才有生命的理念。我特别感谢为本书写序的中国科学院水利部成都山地灾害与环境研究所的李泳先生。李泳是我科学网的博友，他的博学渊识让我敬佩，但在请他写序前我们一直未能谋面。他拿到我的书稿后，认真阅读，给了我很多非常有建设性的意见。让我本来已近定稿的稿子再次大改，增色很多。他从研究的角度谈了数学和艺术的关系，非常有深度。非常感谢科普出版社的杨虚杰老师，她在我的书稿遇到困难时给予了最大支持，使我有勇气对书稿再次大幅修改，让此书更上一层楼，并使此书以如此精美的形式与大家见面。再次真诚地感谢大家！

最后以陈子昂《登幽州台歌》和美国诗人艾米莉·狄金森（Emily Dickinson）《等待一小时，太久》为结尾。

前不见古人，

后不见来者。

念天地之悠悠，

独怆然而涕下。

To wait an Hour—is long—

等待一小时，太久—

If Love be just beyond—

如果爱，恰巧在那以后—

To wait Eternity—is short—

等待一万年，不长—

If Love reward the end—

如果，终于有爱作为报偿—

（江枫译）

作者

我们读这本书，也许能惊奇于一个平凡的事实：科学与艺术从来都是相通的，“最抽象”的数学与“最具象”的绘画，有时简直像孪生兄弟。

李泳

中国科学院水利部成都山地灾害与环境研究所研究员